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2005年12月11日 (日曜日)

2月1日まであと51日 合不合判定テスト第4回

掲示板でご指摘の問題について、お詫びがてら少し詳しく解説を。

問題

「図のように正三角形ABCと正三角形BDEを並べ、AとE、CとDを結びました。角AFD(の角)の角度は何度ですか。

中学生が合同を習う時に、合同の証明でよく出てくる図形です。

中学入試ではたまに、この問題のように角度の問題として登場しています。

ふつうは解説のはじめに書いたとおり、三角形ABEと三角形CBDの合同から等しい角を考えて、角AFDを求めます。

もし、中学の教科書や市販の参考書、問題集に出てきたとしたら、やはりこの問題は上記の解き方をとっているものがほとんどです。

少し違った解き方を。

ここで、合同な図形の定義を思い出します。

簡単に言うと「移動によってぴったり重なり合う図形のこと」です。

平面図形の移動は「回転」、「対称」(この2つは5年下で出てきたばかりですね)、「平行」の3種類で、すべての平面上の図形はこの3種類の組み合わせで移動することができます。

この図は、次の図のように回転移動によってできている合同な三角形と見ることができます。点Bを中心に、EはDに、AはCに移動しています。

三角形ABEと三角形CBDで、辺BAは辺BCに、辺BEは辺BDに60度回転して重なっています。

三角形ABEはBを中心に60度回転して三角形CBDに重なりましたから、辺ABも辺CDに60度回転して重なったことがわかります。

よって、求める角度は(180-60=)120度です。

中学生で「円の性質」を習うと(例の新指導要領で範囲外になった解き方ですが)またおもしろい解き方が考えられます。

図だけ紹介しておきましょう。

四角形ABFC、四角形FBDEは円に内接する四角形になることを使うと、見ただけで120度とわかります。

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