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2007年5月11日 (金曜日)

42

だんだんと蒸し暑くなってきました。
冷房を入れるにはためらうものの、さすがに人間がたくさんいる教室の中は暑いものです。授業に熱が入って暑いのならまだよいのですが。

……
42

42は合成数(2×3×7)です。
その約数は1、2、3、6、7、14、21、42の8個で、その和は96です。

  42
=6×7
=6+6+6+6+6+6
=2+4+6+8+10+12

ある整数をAとして、A×(A+1)は2から始まるA番目までの偶数の和に等しくなります。

奇数の次は必ず偶数です。
A番目までの奇数の和は(個数×個数から)A×Aなので、A番目までの偶数の和は奇数の和よりAだけ大きくなります。
    Zukei42a_6
A×(A+1)=A×A+A

図のイメージは右。

1から42までの奇数の和は(6×6=)36、
偶数の和は(6×7=)42です。奇数の和より6大きくなります。

1から100までならば、50個ずつなので、偶数の和は奇数の和より50大きくなります。
奇数の和は(50×50=)2500なので、偶数の和は(50×51=2500+50=)2550です。

3つの異なる素数の積で表される数としては2番目に小さい数です。
もっとも小さい数は(2×3×5=)30、3番目は(2×3×11=)66、4番目は(2×5×7=)70です。

1、2、5、14、42、132、……

42は5番目のカタラン数です。

ああ、カタラン数!

中学入試算数で、昔はフィボナッチ数列でさえ珍しく、知っている方が少なかったのに。
三角数やフィボナッチほどではありませんが、だんだん認知されてきています。

カタラン数は知らなくても、これがからむ典型的な入試問題があります。

(問題)
多角形の中で交わらないように、頂点どうしを直線で結んで、多角形を三角形に分けます。このときできる三角形の頂点は、すべて多角形の頂点であるとします。例えば四角形は、図のように2通りの分け方があります。このとき、次の多角形は、何通りの分け方がありますか。Zukei42b
(1)五角形
(2)六角形
(3)七角形

これは、慶応中等部、ラ・サール中など有名中学を中心に頻出です。

武蔵中でもこんな問題がありました。

(問題)
帽子を2つ重ねてかぶっている人が、コインを投げて表が出れば帽子を1つ増やし、裏が出れば帽子を1つ減らすゲームをします。何回かコインを投げて、頭の上に帽子がなくなればゲーム終わります。
(1) 太郎君がこのゲームを行いました。ゲームが終わるまでにコインを投げた回数は、5回以内でした。太郎君が投げたコインの表裏の出方を、表を○、裏を×としてすべて書きなさい。
(2) 次に、次郎君がこのゲームを行いました。次郎君は、8回目を投げてゲームが終わりました。次郎君が投げたコインの表裏の出方は、全部で何通りですか。(考え方も書きなさい)

かわいいイラストでちょっと話題になりました。

カタラン数は公式もありますが、中学入試では42通りより大きい数が答えになるものを見たことがありません。
むしろ、右のような図の道順の総数に等しくなることを知っている方がよいでしょう。
Zukei42c_1




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