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2007年6月 1日 (金曜日)

44

6月になりました。

東京はどうもまだ天候が落ち着きませんね。
徐々に暑くはなっていますが。
授業中の雷に一同騒然。
「上で楽しくボーリングやっているね」
「だれがやってんの?」
こういうツッコミには早い諸君です。

……
44

44は合成数(2×2×11)です。
約数は1、2、4、11、22、44の6個で、その和は84です。

1/9=0.111……
1/99=0.010101……
1/999=0.001001001……

無限小数の中で、同じ数字の並びが一定の周期で繰り返す小数を循環小数といいます。
ちなみに無限小数の中で、でたらめに数が並んでいくものがルートや円周率などの無理数です。
無理数は分数で表すことができません。そこで新しい記号を用いて数を表すのですね。
困ったら新しい記号を使う。数学の常套手段です。

循環小数を分数で表す方法は前にも扱いました(よね。たぶん)。
単純に言うと繰り返すケタの分だけ分母に9を置いていけばよいのですね。
0.7777……なら、7/9。
0.131313……なら、13/99。
0.123412341234……なら、1234/9999。

さて、1/44なら?

   1/44
=1/11×(1/4)
=1/(11×9)×9×(1/4)
=1/99×(9/4)
=0.010101……×(9/4)
=0.010101……×2.25
=0.022727……
0.02のあと「27」が繰り返します。

もちろん、1÷44を計算すればよいのですが。
しかし、上記のような方法を知っていれば、応用がききます。

たとえば、4/111なら、分子と分母に9をかけ、36/999となるので0.036036036……です。

これもやったような。

1、1、2、4、7、13、24、44、81、……

次の数(項)が前3つの数(項)の和で、「フィボナッチ数列」から派生して「トリボナッチ数列」でした。

これはまだですね。

1、2、9、44、265、……

よくあるパターンは「プレゼント交換」です。
中学入試でもたまに(いや、たまに、より多いかもしれません)出題されます。
こんな問題です。

5人の子どもがプレゼントを1つずつ用意しました。だれもが自分のプレゼントをもらわないように交換します。交換の仕方は何通りありますか。

やったことがなければ、結構な難問かもしれません。
はじめて見たとしたら書き出すしかないでしょう。

今年の慶応普通部の問題。

4人が4脚のいすに横一列で座っています。これから座り方を変えようとしていますが、4人とも今とは違ういすに座る座り方は何通りありますか。

もし2人だったら1通り、3人だったら2通り、4人だったら9通りです。

けっこう昔の巣鴨高校の問題。

次の各問に答えよ。
(1) A、B、C 3人の名刺各1枚が、1枚ずつ別々の封筒に入れてある。この3人が、それぞれ封筒を1つ選んで、名刺をとりだすとき、3人とも他人の名刺に当たる場合は何通りあるか。
(2) A、B、C、D、E 5人の名刺各1枚が、1枚ずつ別々の封筒に入れてある。この5人が、それぞれ封筒を1つ選んで、名刺をとりだすとき、5人とも他人の名刺に当たる場合は何通りあるか。

少なくとも今のところ中学入試では5人の場合の44通りまでしか見たことがありません。

265通りは酷ですね。

難関中学を目指していればいつか目にする問題のひとつです。
かく乱順列、完全順列などと呼ばれています。

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