リンク

« 60 | トップページ | またまた大物君のこと »

2007年11月12日 (月曜日)

たけしのコマネチ大学数学科

ご存知の方も多いかと思いますが、「たけしのコマネチ大学数学科」は30分ほどの深夜1時過ぎの番組です。
コマネチ大学チーム(タケシ軍団)、東大女子大生チーム、マス北野の3組が毎週1つの数学の問題に挑戦するという番組ですね。
あまり熱心な視聴者とはいえませんが、一応録画してあり、たまに時間があるときに見ています。
扱われる問題はさまざまですが、中学入試算数に関連する問題もたくさん出ています。

先週はたまたまリアルタイムで見たのですが、問題は今年の入試問題にも登場したテーマでした。

問題 「円を20個以上に分割するには最低何本の直線が必要か?」

面の分割の問題です。

もし知らなかったり、わからなければ調べるのが基本です。
書いて調べていきます。

円の中に、どの3本の直線も、1つの点で交わらないようにかくのがルールです。

1本のときは2個。
2本のときは4個。
3本のときは7個。

4本目くらいから大変になります。何とかかいて11個です。
ここで、規則を考えて見ます。
1本の線をひくたびに、その前にあった線はかならず切られることになります。
たとえば4本目をひくと、前の3本はこの新しい線に切られます。

-●-●-●-

-が新しい線、●が交点です。
このとき、面は上の図で「-」の部分だけ増えます。
もう一度調べた結果を見ると

2本目をひくと、面は2個増えています。
3本目をひくと、面は3個増えています。
4本目をひくと、面は4個増えています。

よって、以下同じように

5本目で面の数は(11+5=)16個。
6本目で面の数は(16+6=)22個となり、これが答えとなります。

N本目の面の個数は、N番目の三角数+1になっています。

この問題は、今春も複数の学校に出題されています。

紹介しましょう。

(問題1)
図のように円に直線を1本ずつ引いていき、円をいくつかの部分に分けます。
たとえば1本目の直線を引くと2つの部分に分けられ、2本目の直線を引くと4つの部分に分けられます。ただし、あとから引く直線はその前までに引いたすべての直線と交わるように引き、どの3本の直線も同じところでは交わらないものとします。
Zukei0711a_2
(1) 10本目の直線を引いたとき、10本の直線の交点は全部で何個ですか。
(2) 10本目の直線を引いたとき、円は全部でいくつの部分に分けられますか。
(07西武文理中)

まったく同種の問題です。
(1)の交点の個数は、2本目で1個、3本目で3個、4本目で6個、5本目で10個と三角数になります。これも線をひくたびに、前の線が切られる数だけ点の個数が増えます。
9番目の三角数で45個ですね。

(2)は10番目の三角数+1となり、(55+1=)56です。

さらに交点で分けられたときの線の本数についても調べてみます。

1本目は1本、2本目は4本、3本目は9本、4本目は16本となります。

このように数えるとオイラーの定理が成り立ちます。

平面では(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)=1

たとえば、4本目のとき、交点は6個、辺は16本、面は11なので、6-16+11=1となります。

(問題2)
次のような操作で、図のように円に直線を引き、円をいくつかの部分に分けていくことにします。
 
操作1 まず、円と交わるように直線を1本引きます。このとき、円は2つの部分に分かれます。
操作2 次に、1本目の直線と円の内部で交わるように、2本目の直線を引きます。このとき、円は4つの部分に分かれます。
操作3 次に、1、2本目の直線と円の内部で交わるように、3本目の直線を引きます。このとき、円は7つの部分に分かれます。

Zukei0711b_2
以下同様にして、直線を1本ずつ増やす操作を続けていきます。ただし、どの3本の直線も1つの点で交わらないようにします。次の問いに答えなさい。
(1) 操作4では、円はいくつの部分に分かれますか。
(2) 操作5では、円はいくつの部分に分かれますか。
(3) 分けられた部分の個数が初めて50をこえるのは、何本目の直線を引く操作のときですか。
(07東京電機大学中)


解答(1)11(2)16(3)10本目

せっかくなので、麻布中のも紹介しておきましょう。

(問題3)
次の問いに答えなさい。
〔A〕 次の規則①、②に従って、平面に直線を引いていきます。
① どの2本の直線も必ず1点で交わります。この点を交点といいます。
② どの交点も3本以上の直線が通ることはありません。

(1) このとき、引いた直線によって、平面はいくつの部分に分けられますか。また、そのうち多角形になっている部分はいくつありますか。右の表を完成しなさい。
(表は省略、直線が1、2、3、4本のときの平面が分けられる個数と多角形になっている部分の個数を書き込むようになっています)

以下の□にあてはまる適当な数を入れなさい。

(2) 6本目の直線を引いたとき、新しい交点は□個できます。このとき、平面が分けられる部分の個数は□個増えます。また、多角形になっている部分の個数は□個増えます。
(3) 10本の直線を引いたとさ、平面は□個の部分に分けられます。そのうち、多角形になっている部分は□個あります。

〔B〕 次の規則③、④に従って、平面に長方形をかいていきます。
③ どの2つの長方形も、ちょうど2点で交わります。
④ どの交点も、3つ以上の長方形が通ることはありません。
以下の□にあてはまる適当な数を入れなさい。
(4) このとき、5個の長方形をかくと、平面は□個の部分に分けられます。
(5) 50個目の長方形をかいたとき、平面が分けられる部分は49個のときにくらべて□個増えます。

« 60 | トップページ | またまた大物君のこと »

算数」カテゴリの記事

  • 115(2013.06.27)
  • 114(2013.05.29)
  • 113(2013.05.13)
  • 112(2010.07.23)
  • 111(2010.07.07)

コメント

コメントを書く

コメントは記事投稿者が公開するまで表示されません。

(ウェブ上には掲載しません)

« 60 | トップページ | またまた大物君のこと »

2018年10月
  1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31      

賛数仙人

無料ブログはココログ

最近のトラックバック