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2008年1月27日 (日曜日)

入試問題紹介 その4

今日は2007年の入試問題から、慶應中等部の問題をご紹介しましょう。
入試日が変更になり、今年、注目の学校ですね。

……

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(問題)

次の例のように、ある整数のすべての位の数をかけ合わせて、その答えが1桁の数になるまでこれをくり返します。次の□に適当な数を入れなさい。

(例) 327→3×2×7=42→4×2=8
    73→7×3=21→2×1=2

(1) 279の最後の答えは□です。
(2) 最後の答えが6になる2桁の整数は□個あります。

続きは前回(駒場東邦中)の解説を。

(問題)

1.0000から9999までの電話番号に用いられている4けたの数のうち、0545のように5を2個以上ふくむのは何通りあるか、求めなさい。

(解説)

電話番号に用いられている4けたの数を□□□□とすると、□にはそれぞれ10個の数が入るので、全部で、

 10×10×10×10

個あります。

この中で5を含まない数は□□□□とすると、□にはそれぞれ9個の数が入るので、

 9×9×9×9

個あります。

さらに5を1個しか含まない数は、
5□□□、□5□□、□□5□、□□□5
の4種類あり、□にはそれぞれ9個の数が入るので、

 9×9×9×4

個あります。よって、

  9×9×9×9+1×9×9×9×4
=9×9×9×(9+24)
=9477

10000-9477=523

から、523通りです。

※ そのまま数える方法もよいでしょう。

5555→1通り
555□→9×4=36
55□□→9×9×4C2

  1+36+81×6
=1+36+486
=523

から、523通りです。

(問題)
2.AからBまで連続する整数をすべてかけたとき、一の位から順に見て、最初に現れる0以外の数を(A,B)でかくことにします。たとえば、1×2×3×4×5=120なので(1,5)=2です。
(1) (1,10)を求めなさい。
(2) (121,130)を求めなさい。

(解説)

(1)□は0以外の数として、
  □0のとき、□×10、
  □00のとき、□×100、
  □000のとき、□×1000です。

  1×2×3×4×5×6×7×8×9×10
=1×3×4×6×7×8×9×2×5×10
=1×3×4×6×7×8×9×10×10
=1×3×4×6×7×8×9×100
=3×4×6×7×8×9×100

なので、3×4×6×7×8×9の1の位を考えます。
さらに3×7=21なので、
4×6×8×9の1の位を考え、4×6=24から4、4×8=32から2、2×9=18から、(1,10)は8です。

※ 1×2×3×4×5×6×7×8×9×10を、2と5で1回ずつわっていきます。
   2×3×4×5×6×7×8×9×10
→ 3×4×6×7×8×9×10
→ 3×4×6×7×8×9

かけて1の位が1になる数を探し、その数でわります。
3×7でわり、

→ 4×6×8×9
4×6=24と8×9=72の1の位をかけて8です。

(2) 2と5で1回ずつわっていきます。

  121×122×123×124×125×126×127×128×129×130
→121×61×123×124×25×126×127×128×129×130
→121×61×123×62×5×126×127×128×129×130
→121×61×123×31×126×127×128×129×130
→121×61×123×31×63×127×128×129×26

1の位の数だけにします。

→1×1×3×1×3×7×8×9×6

かけて1の位が1になる数を探し、その数でわります。

→3×3×7×8×9×6

3×7でわり、

→3×8×9×6

3×8=24と9×6=54の1の位をかけて6です。

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