算数力の基礎チェック その5

今回は

2．計算順序の習得

についてです。

……

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何でもゲームを楽しむためには「ルールを理解」することが重要です。
算数や数学も同じで、多少の地域限定のルールがあったとしても、大前提のルールは万国共通です。
算数、数学を楽しむために、日々ルールをマスターし、練習するわけです。

四則混合の計算については、

　1．（　）がある場合は（　）の中から計算する。
　　（複数の（　）がある場合は一番内側から計算する）
　2．かけ算、わり算は先に計算する。
　3．それ以外については、左から右に計算していくことが原則。

の3つのルールだけです。

これは整数に限らず、小数や分数が混じっても変わりません。

上記の1から3は習う順番としては逆ですが、実際に計算を考える場合はこの順番に進めます。

（　）、×、÷はひとかたまりです。切り離して考えることはできません。1つのいわゆる「項」と考えてよいでしょう。
四則混合の式は、これらの「項」を「＋」や「－」でつなげたものと見ることができます。

※　正しくは符号としての＋、－がそれぞれの項にあり、それを項は「＋」でつなげていきます。また、（　）を項と呼ぶのは乱暴かもしれません。
例えば、意味を考えていねいに書くと、16－5×2＋3は（＋16）＋（－5）×（＋2）＋（＋3）です。

4年生以上なら、この計算順序のルールを間違わずにできていなければなりません。

1＋2×3

18－8÷2

20－10÷（7－2）

9×8－（9－2×3）×15

だいじょうぶですか？

早く正しくできるようなら、一歩踏み込んで、式の意味から次のようなことを考えることができます。

式はすべて、「＋□」・「－□」・「×□」・「÷□」で区切って考えれば、順番をかえて計算できます。

たし算、かけ算だけの場合は、順番をかえて計算してよいことはわかるし、習いますね。

　 18＋23＋27＋32
＝（18＋32）＋（23＋27）
＝50＋50
＝100

　 7×4×125×8×25
＝（4×25）×（125×8）×7
＝100×1000×7
＝700000

しかし、ひき算が混じっても、順番をかえることができます。

　 6－2＋3
＝6＋3－2
＝9－2
＝7

この場合、頭の「6」は「＋6」の省略とみます。「＋3」はたし算なので、たし算の順番をかえたと考えてもよいですが、「－2」の順番をかえたと見ても不都合ありません。

　 26－9－6
＝26－6－9
＝20－9
＝11

次の場合は、「－3」だけ順番をかえてはいけません。

　 30＋6－3×8
＝30－3×8＋6
＝30－24＋6
＝6＋6
＝12

「－3×8」はひとかたまりなので、くっつけたまま移動させなければいけません。

同じように、わり算は気をつけなければいけません。
順番をかえてよいのは、その「項」の中だけです。「÷□」のまま、動かします。
かけ算、わり算だけの式なら、気にしなくてもかまいませんが。

　16÷7÷4×21
＝（16÷4）×（21÷7）
＝4×4
＝16

この場合、頭の「16」は「×16」の省略とみます。
もっとも（もちろん）この計算ではふつう、分数の形にして約分していきます。

　 30－72÷32×4÷3
＝30－72÷3×4÷32
＝30－24×4÷32
＝30－96÷32
＝30－3
＝27

「÷□」の順番をかえてよいのは「72÷32×4÷3」の中だけですね。
そうでなければ、大原則を破ることになります。
この計算もふつうは「72÷32×4÷3」の部分をまず分数の形にして約分します。

算数では、ルールを破らない限り、自由なくふうができます。
ルールに精通すれば、正解への道はひとつだけではありません。
美しい解法、クールな解法を見つけるためにも、ルール（基本）を大事にしなければなりません。