算数力の基礎チェック その22

教室の子どもたちは、アツイ～、サムイ～の繰り返し、冷房を入れては消し、消しては入れ、汗だくの授業です。

約数の個数の続きを。

……

と、その前に応援のクリック↓をいただけるとたいへんうれしく思います。中学受験ブログでは、役に立つ情報もいっぱいです。

数を見る基本は「素因数分解」です。
「素因数分解」とは、（正の）整数を、素数の積の形にすることです。
素因数分解をすると、数の成り立ちを見ることができます。

12を素因数分解すると、2×2×3です。

これを見ると、12は2で2回われ、3では1回われます。また、明らかに5や7など他の数でわることはできません。

12の約数は、1、2、3、4、6、12の6個です。

これは2×2の約数と、3の約数を組み合わせてかけるとすべて求めることができます。

2×2の約数は、1、2、4の3個、3の約数は1、3の2個で、これを組み合わせると、12の約数は（3×2＝）6個とわかります。

1＝1×1（2×2の約数の1と3の約数の1）
2＝2×1（2×2の約数の2と3の約数の1）
3＝1×3（2×2の約数の1と3の約数の3）
4＝4×1（2×2の約数の4と3の約数の1）
6＝2×3（2×2の約数の2と3の約数の3）
12＝4×3（2×2の約数の4と3の約数の3）

90の約数の個数を考えます。

90は素因数分解すると、2×3×3×5です。

90の約数は、2の約数1、2と、3×3の約数1、3、9と、5の約数1、5を組み合わせてかけた数です。
2の約数は2個、3×3の約数は3個、5の約数は2個で、これの組み合わせは（2×3×2＝）12個です。つまり、90の約数は12個あります。

素因数分解さえできれば、その形を見て約数の個数を計算できます。

例えば、2×2×3×3×3×5×7×7の約数の個数は、
2×2　→　1、2、4の3個
3×3×3　→　1、3、9、27の4個
5　→　1、5の2個
7×7　→　1、7、49の3個
なので、（3×4×2×3＝）72個です。

ここで、約数の個数の公式

Aのp乗×Bのq乗×Cのr乗×……の約数の個数は
（p＋1）×（q＋1）×（r＋1）×……個

です。

これも算数の常識にしたい公式です。

約数の総和の公式もありますが、こちらは機会があればまた触れることにしましょう。