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2008年7月 8日 (火曜日)

算数力の基礎チェック その22

教室の子どもたちは、アツイ~、サムイ~の繰り返し、冷房を入れては消し、消しては入れ、汗だくの授業です。

約数の個数の続きを。

……

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数を見る基本は「素因数分解」です。
「素因数分解」とは、(正の)整数を、素数の積の形にすることです。
素因数分解をすると、数の成り立ちを見ることができます。

12を素因数分解すると、2×2×3です。

これを見ると、12は2で2回われ、3では1回われます。また、明らかに5や7など他の数でわることはできません。

12の約数は、1、2、3、4、6、12の6個です。

これは2×2の約数と、3の約数を組み合わせてかけるとすべて求めることができます。

2×2の約数は、1、2、4の3個、3の約数は1、3の2個で、これを組み合わせると、12の約数は(3×2=)6個とわかります。

1=1×1(2×2の約数の1と3の約数の1)
2=2×1(2×2の約数の2と3の約数の1)
3=1×3(2×2の約数の1と3の約数の3)
4=4×1(2×2の約数の4と3の約数の1)
6=2×3(2×2の約数の2と3の約数の3)
12=4×3(2×2の約数の4と3の約数の3)

90の約数の個数を考えます。

90は素因数分解すると、2×3×3×5です。

90の約数は、2の約数1、2と、3×3の約数1、3、9と、5の約数1、5を組み合わせてかけた数です。
2の約数は2個、3×3の約数は3個、5の約数は2個で、これの組み合わせは(2×3×2=)12個です。つまり、90の約数は12個あります。

素因数分解さえできれば、その形を見て約数の個数を計算できます。

例えば、2×2×3×3×3×5×7×7の約数の個数は、
2×2 → 1、2、4の3個
3×3×3 → 1、3、9、27の4個
5 → 1、5の2個
7×7 → 1、7、49の3個
なので、(3×4×2×3=)72個です。

ここで、約数の個数の公式

Aのp乗×Bのq乗×Cのr乗×……の約数の個数は
(p+1)×(q+1)×(r+1)×……個

です。

これも算数の常識にしたい公式です。

約数の総和の公式もありますが、こちらは機会があればまた触れることにしましょう。

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