115

115は合成数（5×23）です。

約数は1、5、23、115の4個で、その和は（（1＋5）×（1＋23）＝）144です。

　115

＝57＋58

　115

＝23×5

＝23＋23＋23＋23＋23

＝21＋22＋23＋24＋25

＝19＋21＋23＋25＋27

　115

＝23×5

＝（11＋12）×5

＝11＋11＋11＋11＋11＋12＋12＋12＋12＋12

＝7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16

　115

＝1×2×3×4×5－5

これはいまいち。

115は5の倍数なので親しみやすそうですが、相棒が23なのでとっつきにくい数でもあります。約数が少ないだけにわかりやすい数とも言えますが。

八方美人には裏がありそうです。頑固一徹、厳しそうな人がたまに見せる優しさ、裏を感じず、わかりやすくもあります。

多数決、最大公約数が良いとは限らない。こと子どもひとりひとりの教育もそうですね。

114

114は合成数（2×3×19）です。

約数は1、2、3、6、19、38、57、114の8個で、その和は（（1＋2）×（1＋3）×（1＋19）＝）240です。

　 114

＝38×3

＝38＋38＋38

＝37＋38＋39

　 114

＝19×6

＝（9＋10）×6

＝9＋9＋9＋9＋9＋9＋10＋10＋10＋10＋10＋10

＝4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15

113＝10×10＋3×3＋2×2

だったので、

　 114

＝10×10＋3×3＋2×2＋1×1

114を2つの素数の和で。

　 114

＝5＋109

＝7＋107

＝11＋103

＝13＋101

＝17＋97

＝31＋83

＝41＋73

＝43＋71

＝47＋67

＝53＋61

風景でも自然でも芸術でも見る人によったり、環境によったりで見え方は違います。

対象と自分の位置関係でも違います。

対象に対する理解の度合いによって感動も違います。

数字は人間が作り出した最も基礎となる記号の一種といってよいでしょう。

たった1つの数字を見てもその理解度や興味によって見え方も違ってきます。

算数や数学が嫌いと言って憚らない諸君には、電話帳を読みなさいと冗談で言います。もちろんこの電話帳とは本物の電話帳のことで過去問集などのことではありません（笑）。

数を愛の目で見ているのか、忌み嫌う目で見ているのか、同じことをしていても全く違う結果となりそうですね。

113

数のイメージ、久しぶりです。

112で終わっていました。

113は書くことが少なそうな数です。数が大きくなると情報量も多そうですが、ことその数自体の話題に関しては、きりがいい数や12345など特別な数でない限りは少なくなりそうです。

113

113は30番目の素数です。

100までの素数は25個なので、101から113まで13個の整数の中に5個の素数があることになります。ところが113のあとの素数は127でしばらく現れません。

113、131、311はいずれも素数です。

113＝56＋57

113＝100＋9＋4

　＝10×10＋3×3＋2×2

113＝3×5＋5×7＋7×9

113＝4×5×6－7

少しおもしろい……かな。

112

今日も暑かったですね。大事な夏期講習、体調管理も気が抜けません。

112は合成数（2×2×2×2×7）です。
約数は1、2、4、7、8、14、16、28、56、112の10個で、その和は（（1＋2＋4＋8＋16）×（1＋7）＝）248です。

　 112
＝16×7
＝16＋16＋16＋16＋16＋16＋16
＝13＋14＋15＋16＋17＋18＋19

　 112
＝1＋111
＝11＋13＋17＋19＋23＋29

　 112
＝2×2×2×2×7
＝2×2×2×2×（1＋2＋4）
＝2×2×2×2×（2×2＋2＋1）
＝2×2×2×2×2×2＋2×2×2×2×2＋2×2×2×2
つまり112は、2進数で「1110000」です。

112を2つの素数の和で。

　 112
＝3＋109
＝5＋107
＝11＋101
＝23＋89
＝29＋83
＝41＋71
＝53＋59

111

東京は（東京も？）傘が必要かどうか悩む日々が続いています。降ってなければ傘を持たない主義の私はよく雨に降られています。

111は合成数（3×37）です。
その約数は1、3、37、111の4個で、その和は152です。

111は37のところでふれました。

　 111
＝37×3
＝37＋37＋37
＝36＋37＋38

1/111＝9/999です。
つまり、たとえば
9×17＝153から、0.153153153153……＝153/999＝17/111
9×8＝72から、0.07207207207207……＝72/999＝8/111

110

110は合成数（2×5×11）です。
約数は1、2、5、10、11、22、55、110の8個で、その和は（（1＋2）×（1＋6）×（1＋11）＝）252です。

3つの異なる素数の積でできている数は、小さい順に、

2×3×5＝30
2×3×7＝42
2×3×11＝66
2×5×7＝70
2×3×13＝78
2×3×17＝102
3×5×7＝105

110は8番目の数ですね。

連続する2つの整数の積で表される数は、

1×2＝2
2×3＝6
3×4＝12
4×5＝20
5×6＝30
6×7＝42
７×8＝56
8×9＝72
9×10＝90
10×11＝110

これらの数が分母となり、分子が1の分数の和の計算は中学受験算数では定番です。

1×2＝（1×2×3－0×1×2）÷3
2×3＝（2×3×4－1×2×3）÷3
3×4＝（3×4×5－2×3×4）÷3
……
9×10＝（9×10×11－8×9×10）÷3
10×11＝（10×11×12－9×10×11）÷3

なので、

　1×2＋2×3＋3×4＋……＋10×11
＝（10×11×12－0×1×2）÷3
＝440

　110
＝5×22
＝22＋22＋22＋22＋22
＝20＋21＋22＋23＋24

　110
＝10×11
＝10＋……＋10＋……＋10
＝5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15

110は2進数で表すと1101110。
110　111　0か。

110はひゃくとうばん、小さい頃からなじみのある数に違いない。しかし、今や公衆電話は見当たらず、携帯電話・インターネットの時代、110番はまだ有名なのでしょうか。　
明日、生徒に聞いてみよう。

109

梅雨入りしましたね。今日は涼しい一日でした。

109は101、103、107に続く29番目の素数です。
101、103、107、109のように一番小さい数と一番大きい数の差が8である4つの素数の組は5、7、11、13を除くとかならず1の位は1、3、7、9となる……。当たり前か。しかし、この前には11、13、17、19しかなく、この次は191、193、197、199です。

　109
＝9＋100
＝3×3＋10×10
直角をはさむ2辺の長さが3、10の直角三角形4枚で囲んでできる正方形の面積は109。

109の倍数

109×6=654
109×11=1199
109×47=5123
109×51=5559
109×53=5777
109×55=5995
109×91=9919
109×102=11118
109×139=15151
109×205=22345
109×265=28885
109×306=33354
109×316=34444
109×367=40003
109×373=40657
109×474=51666

108

108は合成数（2×2×3×3×3）です。
約数は1、2、3、4、6、9、12、18、27、36、54、108の12個で、その和は（（1＋2＋4）×（1＋3＋9＋27）＝
）280です。
108を素因数分解すると、2が2個、3が3個使われています。
正三角形の1つの内角は60度、正方形は90度、正五角形は108度です。
108は煩悩の個数とも言われます。除夜の鐘をつく回数が108回なのはこれに由来することは正月の度の話題なのでよく知られていますね。真偽はわかりませんが。
煩悩の個数が一番基本となりそうな素数2と3でできているのは何か由来があるのでしょうか。

108
＝3×36
＝36＋36＋36
＝35＋36＋37

108
＝4×27
＝8×13.5
＝13.5＋13.5＋13.5＋13.5＋13.5＋13.5＋13.5＋13.5
＝10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17

108
＝9×12
＝12＋12＋12＋12＋12＋12＋12＋12＋12
＝8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16

108を2つの素数の和で。

108
＝5＋103
＝7＋101
＝11＋97
＝19＋89
＝29＋79
＝37＋71
＝41＋67
＝47＋61

108
＝3×6×6
＝3×（3＋3）×（3＋3）

107

107は101、103に続き、100以上で3番目に小さい素数です。
100以下の素数は25個あるので、107は小さい方から28番目の素数です。

107の倍数

107×3＝321
107×11＝1177
107×22＝2354
107×30＝3210
107×49＝5243
107×83＝8881
107×84＝8988
107×353＝37771
107×557＝59599
107×608＝65056
107×623＝66661
107×757＝80999
107×784＝83888
107×811＝86777
107×838＝89666
107×865＝92555
107×892＝95444
107×919＝98333
107×946＝101222

この遊びも面白いかもしれない。

ニュートン算

ニュートン算は仕事算の応用といった位置づけに分類されることが多いです。
ニュートン算とは、はじめにいくらかの数量があって、一定の割合でこれに加わる数量と、一定の割合で減らす数量の関係から解いていく問題のことです。仕事算との違いは、仕事量が刻々と変化していくところにあります。
一説では、ニュートンが考えた問題であることから「ニュートン算」という名前になったと言われています。
昔からよく出ている問題です。
牛や馬が草を食べる一方で、草は増え続けていて、さていつ草を食べつくすでしょうか、といった問題や、井戸水をポンプでくみ上げる一方で井戸水は少しずつ増えていて、さていつ井戸水は汲み上げつくされるでしょうか、といった問題が定番です。
最近は行列の問題がはやりです。
増え続ける行列があって改札では一定時間で数人ずつ入れていくとき、この行列がつきるのはいつか、そういう問題です。

[基本問題]
1つの窓口では1分間に10人ずつ処理していきます。行列は1分間に20人ずつ増えていきます。100人の行列ができていたとき、窓口3つをあけると何分後に行列はなくなりますか。

[解答]
1分間に30人ずつ処理いていく一方で行列は1分間に20人ずつ増えていくので、はじめの行列の100人は1分間に（30－20＝）10人ずつ減っていきます。よって、100÷10＝10から10分後です。

収入より支出が多いとき、貯金はニュートン算的に減っていきます。
生徒が質問でたくさん並んでいるときは、質問に答えるスピードを上げなければ終わらないニュートン算です。
すすめ上手で酒が強く好きな人がいると、これはまた倒れるまでお酒は尽きず、枯れない井戸水の終わらないニュートン算です。

私の塾も早く、この塾の良さに賛同してくれる方が増え、終わらない行列のニュートン算が成り立ってくれればと思います。まだまだ個別指導的なクラスも多く、これは逆にすごくお買得になっている気がする今日この頃です。